线性方程组章节总结

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线性方程组有解的充要条件

1. 齐次线性方程组要么只有一组零解，要么有无穷多解

2. 非齐次线性方程组有解的充要条件

   $R(A)=R(A|\beta)$

   注：$R(A)$和$R(A|\beta)$要么相等，要么差$1$

线性方程组解的结构

1. 齐次线性方程组

   (1) $AX=0$只有零解 $ \Leftrightarrow R(A)$等于未知数个数$\Leftrightarrow$A为列满秩阵

   (2) $AX=0$有无穷多组解 $ \Leftrightarrow R(A)$小于未知数个数

2. 非齐次线性方程组

   (1) $AX=B$ 有唯一解 $\Leftrightarrow R(A)=R(A|\beta)=n$

   (2) $AX=B$ 有无穷多组解 $\Leftrightarrow R(A)=R(A|\beta)<n$

   (3) $AX=B$ 无解 $\Leftrightarrow R(A) \ne R(A|\beta)$

注：在非常严苛的条件下，以下两命题等价：$AX=B$ 有唯一解 $\Leftrightarrow $ $AX=0$只有零解（当$A$时方阵时成立）

线性方程组的解

思想：利用矩阵初等行变换（高斯消元）

1. 齐次线性方程组

   记$N(A)$为齐次线性方程组的全体解向量所构成的向量空间，则$\dim N(A)=n-R(A)$，称$n(A)$的基为齐次线性方程组的基础解系：

   (1) 当$R(A)=n$时，齐次线性方程组只有零解，没有基础解系

   (2) 当$R(A)<n$时，基础解系为齐次线性方程组的$n-R(A)$个线性无关的解向量

2. 非齐次线性方程组

   $AX=B$ 和 $AX=0$的解向量满足：

   (1) 若$\eta_1$，$\eta_2$都是$AX=B$的解，那么$\eta_1 - \eta_2$是$AX=0$的解（几乎没用）

   (2) 若$\eta_1$是$AX=B$的解，$\eta_2$是$AX=0$的解，那么$\eta_1 + \eta_2$还是$AX=B$的解

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