高阶求导公式

Guderian出品

$(2)(e^{ax})^{(n)} = a^n e ^{ax}$

$(3)(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac {n\pi}2)$

$(4)(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)$

$(5)(x^a)^{(n)}=a(a-1)\dots(a-n+1)x^{a-n},若n>a，则导数等于零$

$(6)[\ln (x+a)]^{(n)}=(-1)^n \frac{(n-1)!}{(x+a)^n}，特别地，令a=0，(\ln x)^{(n)}=(-1)^n\frac{(n-1)!}{x^n}$

$(7)(\frac1{ax+b})^{(n)}=(-a)^{n} \frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}，特别地，令a=1,(\frac1{x+b})=(-1)^n \frac{n!}{(x+b)^{n+1}}$

$(8)Leibniz公式：[f(x)g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^kf^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)，C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!)}$

拓扑排序

图：索菲亚教堂

Guderian出品

拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

AOV网

在工程领域，一个大规模工程常被拆分为多个子工程，这些子工程被称为活动（Activity），在有向图中以顶点（Vertex）表示活动，以有向边表示活动之间的先后关系，这样的有向图被称为AOV网（Activity On Vertex Network）。在AOV网中，如果出现了闭环，就意味着有若干个活动将被无限次重复，工程将永远无法完成；因此，一个具有实用价值的AOV网，必定是一个有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）。

绪论

对于一个有向无环图$G=(V,E)$，其拓扑排序是其上顶点的一个线性排序：对于有向边$(u,v)\in E$，顶点$u$在排序中在顶点$v$的前面（如果$G$包含环路，则不可能产生一个线性排序）。可以将$G$上各顶点在一条水平线上从左向右排开，且图的所有边的指向也都是从左向右。拓扑排序并未各顶点上的排序，而是各顶点逻辑上的排序，这种排序可能有不止一种。在工程上，常把一个大规模工程的各个子工程抽象为一个AOV网，用拓扑排序解决工程的调度问题。下面用一个示例说明拓扑排序的具体应用：

下图（a）表示的是某教授每天早上从起床后到上班前所发生的事情的AOV网。教授必须先完成某些活动，才能完成某些活动；而另一些活动则可以以任意次序完成。在图（a）中，有向边$(u,v)$表示的就是活动$u$必须在活动$v$前完成。图（b）将拓扑排序后的有向无环图在一条水平直线上展示出来。如图（b）所示，该有向无环图所有边的指向都是从左到右。

高等数学公式

Guderian出品

立方公式

1.立方和公式

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

2.立方差公式

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

3.三项立方和公式

$a^3+b^3+c^3-abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

4.完全立方和公式

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

5.立方和累加

$1^3+2^3+\ldots +n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2=(1+2+\ldots+n)^2$

和差化积公式

$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+ \beta}{2} \cos \frac{\alpha- \beta}{2}$

$\sin \alpha-\sin\beta=2\cos \frac{\alpha+ \beta}{2}\sin \frac{\alpha- \beta}{2}$

$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha- \beta}{2}$

$\cos \alpha - \cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+ \beta}{2}\sin \frac{\alpha- \beta}{2}$

积化和差公式

$\sin \alpha \sin \beta=\frac12[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)]$

$\sin \alpha \cos \beta=\frac12[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)]$

$\cos \alpha \sin \beta=\frac12[\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)]$

$\cos \alpha \cos \beta=\frac12[cos(\alpha + \beta)-cos(\alpha - \beta)]$

常用等价无穷小

Guderian出品

基础版

当$x\to0$时，

$(1)\sin x \sim x$

$(2)\tan x \sim x$

$(3)\arcsin x \sim x$

$(4)\arctan x \sim x$

$(5)1-\cos x \sim \frac12 x^2$

$(6)a^x-1 \sim x \ln a$

$(7)e^x-1 \sim x$

$(8)(1+x)^a-1 \sim ax$ ^*

$(9)\ln (1+x) \sim x$

$(10)\sqrt{1+x}-1 \sim \frac12x$

导数基本公式

Guderian出品

$(2)(x^a)’=ax^{a-1}$

$(3)(a^x)’=a^x\ln a (a>0且a\not=1)$

$(4)(e^x)’=e^x$

$(5)(\log_ax)’=\frac{1}{x\ln a}(a>0且a\not=1)$

$(6)(\ln x)’=\frac1{x}$

$(7)(\sin x)’=\cos x$

$(8)(\cos x)’=-\sin x$

$(9)(\tan x)’=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x$

$(10)(\cot x)’=\frac1{-\sin^2 x}=-\csc^2x$