矩阵章节总结

Guderian出品

矩阵（matrix）形式优美，应用广泛。但是笔者相当头痛矩阵问题。实际上，矩阵的计算绝对不能靠硬算（硬算的事交给Matlab就好了，实际上计算机做矩阵运算，为了避免数值不稳定问题，使用的是和人计算不同的算法），而是灵活变形后运用基本的计算公式；矩阵的证明则更离不开对公式及其推论的灵活运用。笔者从题海中抽象出矩阵计算的常用思想和性质。作者实属菜鸟，水平很菜，将就看看吧 ╮(╯_╰)╭

运算律

$ {AB}= {BA}$时，矩阵运算满足交换律，故以下运算皆成立

$(\mathrm{i})( {A}\pm {B})^2= {A}^2 \pm 2 {AB} + {B}^2$

$(\mathrm{ii})( {A}+ {B})( {A}- {B})= {A}^2- {B}^2$

$(\mathrm{iii})( {AB})^2=( {BA})^2$
$ {A}^*， {A}’， {A}^{-1}$组合会产生十分令人头疼的问题，使用以下公式来缓解头疼

$(\mathrm{i})( {AB})’= {B}’ {A}’$

$(\mathrm{ii})( {AB})^{-1}= {B}^{-1} {A}^{-1}$

$(\mathrm{iii})( {A}^*)^{-1}=( {A}^{-1})^*$
带系数的情况

$(\mathrm{i})|k {A}|=k^n| {A}|$

$(\mathrm{ii})(k {A})^{-1}=\frac1{k} {A}^{-1}$

$(\mathrm{iii})(k {A})’=k {A}’$

$(\mathrm{iv})\overline{k {A}}=\overline{k}\overline{ {A}}$

共轭矩阵

记住以下四个公式，以备突然考到

$(\mathrm{i})\overline{ {A}+ {B}}=\overline{ {A}}+\overline{ {B}}$

$(\mathrm{ii})\overline{k {A}}=\overline{k}\overline{ {A}}$

$(\mathrm{iii})\overline{ {AB}}=\overline{ {A}}\overline{ {B}}$

$(\mathrm{iv})|\overline{ {A}}|=\overline{| {A}|}$

简单地记，凡是涉及共轭的题目，计算的时候看起来能取共轭的都取共轭

伴随矩阵

看到$ {A}^*$，以下公式至少用其一

$(\mathrm{i}) {A}^* {A}= {A} {A}^*=| {A}| {E}$

$(\mathrm{ii}) {A}^{-1}=\frac{ {A}^*}{| {A}|}$

$(\mathrm{iii})| {A}^*|=| {A}|^{n-1}$

$(\mathrm{iv})( {A}^*)^*=| {A}|^{n-2} {A}$
伴随矩阵的特殊性质：极端的伴随矩阵
${R}({A}^*)=\begin{cases} n,\quad {R}({A})=n\\ 1,\quad {R}({A})=n-1\\ 0,\quad {R}({A})<n-1 \end{cases}$

杂题

判断矩阵可逆的方法：

$(\mathrm{i}) {AB}= {BA}=E$

$(\mathrm{ii}) {R}( {A})=n$

$(\mathrm{iii})| {A}|=0$

$(\mathrm{iv}) {A}= {P}_1 {P}_2 \dots {P}_k$
初变不变秩，不变奇异性
行阶梯、行最简、标准形
求逆方法：公式法、辅助矩阵法

分块矩阵运算

对角方阵求逆（仅对对角方阵有效）：
$\left(\begin {array}{ccc} {A}_{11}& & & &\\ & {A}_{22}& & &\\ & & \ddots & &\\ & & & {A}_{ss}& \end {array}\right)^m = \left(\begin {array}{ccc} {A}_{11}^m& & & &\\ & {A}_{22}^m& & &\\ & & \ddots & &\\ & & & {A}_{ss}^m& \end {array}\right)$
特殊矩阵求逆矩阵，是否还应保持原来的顺序：

$(\mathrm{i})$主对角：$\searrow$仍为$\searrow$

$(\mathrm{ii})$次对角：$\swarrow$变为$\nearrow$
思想：运用第三类初等变换
$\left|\begin{array}{cccc} {A} & {C} \\ {D} & {B} \end{array} \right|=|{A}||{B}-{DA}^{-1}{C}|$
分块矩阵的秩（高频使用，按重要性降序排列）：

$(\mathrm{i})R(A+B)\leq R(A)+R(B),\quad R(A-B)\leq R(A)+R(B)$

$(\mathrm{ii})R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\}$

$(\mathrm{iii})R(A|B)\leq R(A)+R(B),\quad R(\frac{A}{B})\leq R(A)+R(B)$

$(\mathrm{iv})R \left(\begin{array}{ccc} A & 0\\0 & B \end{array} \right)=R(A)+R(B)$

$(\mathrm{v})R \left(\begin{array}{ccc} A & C\\0 & B \end{array} \right)\ge R(A)+R(B)$，若$A$，$B$其一可逆则取等

$(\mathrm{vi})$设$A$为$m\times n$矩阵，$B$为$n\times p$矩阵（有时题目条件会简化为$A$、$B$为同阶方阵），则$R(AB) \ge R(A)+R(B)-n$；特别地，当$AB=0$时，$R(A)+R(B)\le n$

$(\mathrm{iii})(\mathrm{iv})(\mathrm{v})$皆易证

~我们遇到什么困难也不要怕，微笑着面对它！消除恐惧的最好办法就是面对恐惧！坚持就是胜利！加油！奥利给！~