行列式章节总结

图：刺客伍六七

Guderian出品

行列式形式优美，应用广泛。但是笔者相当头痛行列式的计算问题和行列式等式的证明问题。为了让行列式计算与证明不那么难算，笔者从题海中抽象出行列式计算和证明的常用算法和性质。作者水平不高，将就看看吧 ╮(╯_╰)╭

行列式计算公式

1.行列式定义

$$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\\ \end{array}\right| = \sum(-1)^{t(p_1p_2\dots p_n)}a_{p_11}a_{p_22}\dots a_{p_nn}$$

特别地，对于二阶和三阶行列式，可直接用对角线法则求出结果。

2.行列式展开定理

引理 如果$n$阶行列式$D$中第$i$行（列）所有元素除$a_{ij}$外都是零，那么，$D$等于$a_{ij}$与它的代数余子式$A_{ij}$的乘积，即$D=a_{ij}A_{ij}$。

展开定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和，即

$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots a_{in}A_{in},\quad i=1,2,\dots,n;\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots a_{nj}A_{nj},\quad j=1,2,\dots,n.$$

推论 行列式$D$的任一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于$0$，即

$$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\dots a_{in}A_{jn}=0,\quad i \ne j,\quad i,j=1,2,\dots ,n;\\ a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\dots a_{ni}A_{nj}=0,\quad i \ne j,\quad i,j=1,2,\dots ,n.$$

行列式结果等于$0$的定理常用于填空题和判断题。

3.范德蒙定理

范德蒙定理的证明用到了第二数学归纳法，在行列式和矩阵中，任何看起来可以用数学归纳法证明的题目（甚至包括一部分计算题），都可以用数学归纳法来做。

$$D_n= \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \dots & 1\\ x_1 & x_2 & \dots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \dots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1}\\ \end{array}\right| = \prod_{1\leq j<i \leq n}(x_i-x_j),\quad n \ge 2$$

简单地记就是，每两个不同的项全部按顺序作差乘一遍。

4.凯恩法则

遇见线性方程组就上凯恩法则，把消元问题化为行列式计算问题。

行列式七条性质

行列式七条性质常用与选择题和填空题，以及某些命题的证明，计算时得出来的结果要么为$0$，要么为题目所给行列式的值得整数倍。

1.行列式与其转置相等

2.互换两行（列）变号

3.两行（列）相同为零

4.行（列）提公因子

5.两行（列）成比例为零

6.如果行列式的某一行（列）是两项和的形式，那么这个行列式就等于两个行列式的和

7.某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变

杂题

1. $|kA|=k^n|A|,\quad |A^m|=|A|^m,\quad A_{n \times n}$

2.行列式乘法定理： $|AB|=|A||B|,\quad A_{n \times n},\quad B_{n \times n}$

然而，$|A+B|\ne|A|+|B|$

3. $|A^m|=|A|^m,\quad A_{n \times n}$

4. $|A’|=|A|,\quad A_{n\times n}$

5. $A^*A=AA^*=|A|E$

6.$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$

7.$|A^{*}|=|A|^{n-1},\quad A^{*}=|A|A^{-1}$

8.$(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$

9.若$A\sim B$，则$|A|=|B|$

10.$|A^{-1}|=\frac1{|A|}$

分块矩阵的行列式

1.对角形

对方阵$A_{11},A_{22},\dots A_{ss}$，若满足主对角线上的三角形，则其构成的行列式结果为

$$|A_{11}||A_{22}|\dots |A_{ss}|$$

对方阵$A_{11},A_{22},\dots A_{ss}$，若满足次对角线上的三角形，则其构成的行列式结果为

$$(-1)^{m \times n}|A_{11}||A_{22}|\dots |A_{ss}|$$

2.在非常严苛的条件下以下等式成立。

$$\left|\begin{array}{cccc} A & B \\ C & D \end{array} \right|=|AD-CB|,\quad AC=CA$$

3.$|\lambda E_m -AB|=\lambda^{m-n}|\lambda E_n-BA|,\quad A_{m \times n},\quad B_{n \times m},\quad m > n$

该公式的证明运用了分块方阵的第三类初等变换（第三类初等变换不改变分块方阵的行列式的值），这是一个重要的思想，是分块矩阵行列式运算的根本方法，常用于分块方阵的计算和证明中。

4.令$n=1$，$|\lambda E_m-\alpha \beta’|=\lambda^{m-1}|\lambda-\beta’\alpha|$，$\alpha$，$\beta$为$m\times 1$向量

5.令$\lambda=1$，$|E_m-AB|=|En-BA|$

6.令$m=n$，$|\lambda E_m-AB|=|\lambda E_n-BA|$

---

~我们遇到什么困难也不要怕，微笑着面对它！消除恐惧的最好办法就是面对恐惧！坚持就是胜利！加油！奥利给！~